Cuadernos de Matemáticas 2

Cuaderno N. 2
La Hipótesis del Continuo.

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo es un enunciado relativo a la cardinalidad del conjunto de los números reales y fue formulado por Georg Cantor en 1878. Su enunciado afirma que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el del conjunto de los números naturales y el del conjunto de los reales.

La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemas de Hilbert propuestos en 1900. Las contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de axiomas estándar en teoría de conjuntos.

Cuadernos de Matemáticas 1

Cuaderno N. 1
El Axioma de Elección.
En teoría de conjuntos, este axioma postula la existencia de un conjunto que contiene un elemento de cada conjunto de una familia dada. Es decir, podemos elegir un elemento de cada uno de los conjuntos de esta familia. Esto es trivial en el caso de una familia finita o cuando tenemos un procedimiento explícito para elegir un elemento de cada conjunto. Sin embargo el axioma es necesario cuando se trata de una una familia infinita arbitraria.
Fue formulado por Zermelo en 1904 para demostrar que todo conjunto puede ser "bien ordenado". Es decir, para demostrar esto último hay que hacer uso de Axioma de Elección.
En un principio se pensaba que este axioma podía ser deducido de los otros 9 axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel, pero Kurt Godel y Paul Cohen demostraron la independencia de ellos en 1938.