1. Euclides, 300 AC, [3]. Supongamos que la cantidad de números primos sea finita, y sea p el mayor de ellos. Consideremos el número N=2.3.5. . .p+1 formado por el producto de todos los números primos más la unidad. Entonces N no es divisible por ninguno de ellos, pues el resto de tal división es 1. Por lo tanto, o bien N es primo o bien N es divisible por un primo distinto de todos ellos. En cualquier caso existe un número primo que no habíamos incluido en nuestro listado.
2. Kummer, 1878, [2]. Supongamos que el número de primos sea finito, p1, p2, ... , pr. Sea N= p1.p2...pr > 2. Entonces, el entero N-1, por ser un producto de primos, tiene un divisor primo pi en común con N. Por lo tanto pi divide al número N-(N-1)=1, lo cual es absurdo.
3. Hermite, [2]. Para demostrar que el número de primos es infinito es sufuciente con mostrar que para todo número natural n existe un número primo p mayor que n. Para esto no hay más que considerar cualquier primo que divida al número n!+1.
4. Euler. Existen varias demostraciones basadas en la identidad de Euler que relaciona la denominada función zeta de Riemann con el conjunto P de los números primos. Para Re(s)>1
4.1 Ribenboim. Sean p1,p2,...,pr todos los números primos. Entonces para cada i=1,2,…,r se verifica 
(ya que se trata de una serie geométrica de razón 1/pi). Multiplicando las r igualdades correspondientes a los r números primos,
Pero el lado izquierdo de la igualdad es la suma de los inversos de todos los números naturales (debido al teorema fundamental de la aritmética que dice que todo número natural se expresa de manera única como producto de primos). Sabemos que esta suma diverge, mientras que el producto del lado derecho de la igualdad es finito. Hemos llegado a una contradicción, por tanto nuestra hipótesis de partida es falsa. Es decir la cantidad de números primos no puede ser finita.
por lo tanto 
y como la serie armónica es divergente, para N suficientemente grande esta desigualdad es imposible.
4.3 Vinogradov. Sean p1,p2,...,pr todos los números primos. Entonces tenemos la igualdad
Pero como el número 
es irracional, esta igualdad es imposible.
4.4 Ahlfors. Si pr fuera el mayor primo entonces,
y se seguiría que ζ(σ) tendría un límite finito cuando σ→1 (siendo σ la parte real de s). Esto contradice el hecho de la divergencia de la serie armónica.
4.5 Crandall, Pomerance. Consideramos ζ(s) para s real, s>1. Es obvio que ζ(s) diverge cuando s→1 debido a la divergencia de la serie armónica. De hecho, para s>1,
Pero si sólo hubiera un número finito de primos, el producto en (1) tendería a un límite finito cuando s→1, en contradicción con la divergencia de la serie armónica.
5. Thue, [2]. Esta prueba hace uso del teorema fundamental de la factorización única de los números naturales en producto de primos. Sean n,k ≥ 1 enteros tales que (1+n)^k<2^n.>Sean p1=2, p2=3, … , pr todos los primos que satisfacen pi ≤ 2^n . Supongamos que r ≤ k. Por el teorema fundamental, todo entero m, 1 ≤ m ≤ 2^n se puede escribir de manera única en la forma:
Contando ahora todas las posibilidades tenemos que 
lo cual es absurdo. Por lo tanto, debe ser r ≥ k+1. Elegimos n=2(k^2). De la desigualdad
obtenemos que
Por lo tanto existen al menos k+1 primos p tales que
Como k se puede tomar arbitrariamente grande esto demuestra que existen infinitos números primos.
por lo tanto el número de enteros m ≤ N divisibles por algún cuadrado será como mucho
Por lo tanto,
con δ > 0. La desigualdad estricta se debe al hecho de que la serie de los inversos de los cuadrados de los números naturales es convergente y su suma es menor que 2 (de hecho Euler demostró que su suma es (π^2)/6).
Eligiendo ahora un N tal que Nδ ≥ 2^r obtenemos una contradicción.
7. Auric, 1915, [2]. Supongamos que existan solamente r números primos p1 <> Sea t ≥ 1 un entero cualquiera y sea N=pr^t . Por el teorema de factorización única, cada entero m, 1≤ m ≤ N, se escribe de la forma
y la sucesión (f1,f2, … ,fr), fi ≥ 0, está definida de manera única. También tenemos que
Entonces para i=1,2,…,r tenemos que fi ≤ tE, siendo E=(log pr)/(log p1). Entonces el número N de enteros m, 1≤ m ≤ N, es a lo sumo el número de sucesiones (f1,f2, … ,fr); Por lo tanto 
Si t es suficientemente grande esta desigualdad no se cumple, por lo tanto el número de primos debe ser infinito.
8. Métrod, 1917, [2]. Supongamos que existan solamente r primos p1 < n="p1p2..pr" i="1,2,...,r" qi="N/pi." size="2">i divide a Qj para todo i ≠ j. Sea
Si q es un primo que divide a S, entonces q ≠ pi ya que pi divide a Qj (para i ≠ j), pero pi no divide a Qi. Por lo tanto existe al menos otro primo.
9. Furstenberg, 1955, [2]. Se trata de una sencilla prueba basada en ideas topológicas. Apareció en American Mathematical Monthly 63 (1955), p.353. Introducimos una topología en el espacio de los números enteros S, usando las progresiones aritméticas (desde -∞ hasta +∞) como una base. No es difícil demostrar que esto nos proporciona un espacio topológico. De hecho, bajo esta topología, S es normal y por tanto metrizable. Cada progresión aritmética es cerrada y abierta, puesto que su complementario es la unión de otras progresiones aritméticas (con la misma diferencia). Entonces, la unión de cualquier número finito de progresiones aritméticas es cerrada. Consideramos ahora el conjunto A=UAp, donde Ap es el conjunto de todos los múltiplos de p, con p extendido al conjunto de todos los primos. Los únicos números que no pertenecen a A son -1 y +1, y puesto que el conjunto {-1,1} no es abierto, A no puede ser cerrado. En consecuencia A no es una unión finita de conjuntos cerrados, lo que prueba que hay infinitos números primos."
10. Goldbach, 1730, [2]. Está basada en la sucesión de números de Fermat. Los números de Fermat 
son primos dos a dos, ya que Fm-2=F0F1...Fm-1 (se prueba facilmente por inducción) y por tanto Fn divide a Fm-2, n <> divide a Fn y Fm, entonces divide a Fm-2 y Fm, en consecuencia divide a 2, y como Fn es impar p sólo puede ser 1. Hemos demostrado que los números de Fermat son primos dos a dos. Ahora elegimos un divisor primo pn de cada número de Fermat Fn. Como todos son distintos, esto prueba que existen infinitos primos.
11. Filip Saidak, 2005. Sea n > 1 un entero positivo. Como n y n+1 son enteros consecutivos, deben ser coprimos (sin factores primos comunes) y por tanto el número N2=n(n+1) debe tener al menos dos factores primos diferentes. De manera similar, puesto que los enteros N2 y N2+1 son consecutivos, deben ser coprimos y en consecuencia el número N3=N2(N2+1) tiene al menos tres factores primos diferentes. Puesto que podemos proceder así indefinidamente, el número de primos debe ser infinito.
