Cuadernos de Matemáticas 2

Cuaderno N. 2
La Hipótesis del Continuo.

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo es un enunciado relativo a la cardinalidad del conjunto de los números reales y fue formulado por Georg Cantor en 1878. Su enunciado afirma que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el del conjunto de los números naturales y el del conjunto de los reales.

La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemas de Hilbert propuestos en 1900. Las contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de axiomas estándar en teoría de conjuntos.

Cuadernos de Matemáticas 1

Cuaderno N. 1
El Axioma de Elección.
En teoría de conjuntos, este axioma postula la existencia de un conjunto que contiene un elemento de cada conjunto de una familia dada. Es decir, podemos elegir un elemento de cada uno de los conjuntos de esta familia. Esto es trivial en el caso de una familia finita o cuando tenemos un procedimiento explícito para elegir un elemento de cada conjunto. Sin embargo el axioma es necesario cuando se trata de una una familia infinita arbitraria.
Fue formulado por Zermelo en 1904 para demostrar que todo conjunto puede ser "bien ordenado". Es decir, para demostrar esto último hay que hacer uso de Axioma de Elección.
En un principio se pensaba que este axioma podía ser deducido de los otros 9 axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel, pero Kurt Godel y Paul Cohen demostraron la independencia de ellos en 1938.

La función zeta de Riemann

Durante el siglo pasado y los primeros años de éste hemos visto como han ido cayendo algunos de los más famosas conjeturas matemáticas. El teorema de los 4 colores, el¨Último teorema de Fermat, la conjetura de Poincaré, la conjetura de Kepler,... Algunos vencidos por la inteligencia humana, otros con ayuda "exterior". Quizá su mayor atractivo sea que tienen un enunciado sencillo, que todo el mundo puede entender, pero su resolución ha resistido durante años o incluso durante siglos a los embates de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Yo recuerdo el momento en que Andrew Wiles comunicó al mundo que había demostrado el Último Teorema de Fermat. Era el 23 de junio de 1993. Fue una sensación de tristeza y admiración a partes iguales. Quizá más tristeza que admiración. Sin embargo, el Último Teorema se resistía. A finales de año Wiles reconocía que había una laguna en su demostración. Tardaría casi dos años, con la ayuda de Richard Taylor, en completarla. Pero esa historia la contaré en otro momento.

Afortunadamente, aún quedan sin resolver problemas que nada tienen que envidiar a los anteriores. Uno de ellos es la denominada "Hipótesis de Riemann". Quizá uno de los problemas más interesantes y más difíciles de la matemática actual. Su atractivo radica en que está íntimamente relacionada con la distribución de los números primos. Hay cientos de resultados relacionados con los números primos y la teoría de números que comienzan con la frase: "si la hipótesis de Riemann es cierta, ..."

La función zeta de Riemann se define como una función compleja de variable compleja s = σ + it para Re(s)>1 como

Puesto que esta converge uniformemente para todo valor real

se deduce que ζ(s) es analítica en el semiplano Re(s)>1.
Existe una relación entre ζ(s) y la sucesión de los números primos p1,p2,…, demostrada por primera vez por Euler, Este producto converge uniformemente para si lo hace la serie Como esta última se obtiene omitiendo términos de la serie

se sigue su convergencia uniforme.

Para demostrar la igualdad de Euler observamos que para σ>1 tenemos

donde m recorre los impares. De la misma manera, donde ahora m recorre los enteros positivos no divisibles por 2 ni por 3. En general obtenemos,
donde m recorre los enteros positivos que no contienen ninguno de los factores primos p1,p2, hasta pN. Cuando N→∞ el primer término de la suma es 1 y la suma del resto de los términos tiende a cero, luego Hasta ahora tenemos definida la función ζ(s) solamente en el semiplano Re(s)>1. Riemannn extendió esta función a todo el plano complejo obteniendo una función meromorfa (analítica en todo el plano complejo excepto en el punto s=1 donde tiene un polo), que en el semiplano Re(s) coincide con ζ(s). Demostraremos que para σ>1 En efecto, la integral es convergente y por el teorema de Cauchy su valor no depende de la forma de C mientras que no incluya ninguno de los múltiplos de 2πi. En particular, si hacemos tender r a cero la integral sobre el circulo tiende también a cero y por tanto en el límite nos queda una integral de linea sobre el eje real positivo. En la parte superior de C tenemos que
y sobre la parte inferior obtenemos
En consecuenciaPara calcular esta última integral partimos de la función Gamma, Reemplazando x por nx en la integral obtenemos y tomando ahora sumatorios respecto de n, Volviendo ahora a la integral compleja sobre el camino de integración C, Teniendo en cuenta que obtenemos, en definitiva de donde se sigue el resultado.La importancia de esta fórmula radica en el hecho de que hemos obtenido una función meromorfa definida en todo el plano complejo. De hecho, la integral en (I) es una función entera de s, mientras que Г(1-s) es meromorfa con polos en s=1,2,… Como ζ(s) es analítica para σ>1, los polos en los enteros n≥2 deben cancelarse con los ceros de la integral. En el punto s=1, -Г(1-s) tiene un polo simple con residuo 1. Por otro lado Por lo tanto ζ(s) tiene residuo 1. En resumen:
La función ζ puede extenderse a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo simple en s=1 con residuo 1.
Los denominados “ceros triviales” son los enteros pares negativos -2,-4,-6, … Ningún otro cero es real. Se obtienen al expesar la función zeta en términos de los números de Bernoulli. Para ello partimos de la función

que es analítica en un entorno de x=0 y por tanto puede expresarse como una serie de potencias:
que es válida en el disco Los coeficientes de esta serie de potencias son, por definición, los denominados números de Bernoulli. Éstos pueden calcularse mediante la fórmula recursiva:
Así obtenemos los primeros números de Bernoulli Los de índice impar son todos ceros excepto el primero.
Si en la fórmula obtenida para la función zeta ponemos s=-n (n=0,1,2,…), obtenemos
y de aquí obtenemos los famosos ceros triviales de la función zeta de Riemann,

La cantidad de números primos es infinita

Una de las primeras preguntas que nos podemos hacer cuando hablamos de números primos es:

¿Cuántos números primos hay?

La respuesta es: infinitos. Euclides lo demostró hace más de 2300 años en su inmortal obra los "Elementos", en el Libro IX, Proposición 20. En el Libro VII, Definición 12 nos dice lo que entiende por número primo:

"Un número primo (prôtos arithmós) es el medido por la sola unidad".

Traducido a palabras modernas, un número primo es un entero positivo que tiene exactamente 2 divisores, la unidad y él mismo.

Me propongo recopilar aquí la mayor cantidad posible de demostraciones de este teorema. Empezaré, por supuesto, por la de Euclides. Entre corchetes pondré el número correspondiente al libro o fuente de donde la he obtenido.

1. Euclides, 300 AC, [3]. Supongamos que la cantidad de números primos sea finita, y sea p el mayor de ellos. Consideremos el número N=2.3.5. . .p+1 formado por el producto de todos los números primos más la unidad. Entonces N no es divisible por ninguno de ellos, pues el resto de tal división es 1. Por lo tanto, o bien N es primo o bien N es divisible por un primo distinto de todos ellos. En cualquier caso existe un número primo que no habíamos incluido en nuestro listado.

2. Kummer, 1878, [2]. Supongamos que el número de primos sea finito, p1, p2, ... , pr. Sea N= p1.p2...pr > 2. Entonces, el entero N-1, por ser un producto de primos, tiene un divisor primo pi en común con N. Por lo tanto pi divide al número N-(N-1)=1, lo cual es absurdo.

3. Hermite, [2]. Para demostrar que el número de primos es infinito es sufuciente con mostrar que para todo número natural n existe un número primo p mayor que n. Para esto no hay más que considerar cualquier primo que divida al número n!+1.

4. Euler. Existen varias demostraciones basadas en la identidad de Euler que relaciona la denominada función zeta de Riemann con el conjunto P de los números primos. Para Re(s)>1

4.1 Ribenboim. Sean p1,p2,...,pr todos los números primos. Entonces para cada i=1,2,…,r se verifica (ya que se trata de una serie geométrica de razón 1/pi). Multiplicando las r igualdades correspondientes a los r números primos,Pero el lado izquierdo de la igualdad es la suma de los inversos de todos los números naturales (debido al teorema fundamental de la aritmética que dice que todo número natural se expresa de manera única como producto de primos). Sabemos que esta suma diverge, mientras que el producto del lado derecho de la igualdad es finito. Hemos llegado a una contradicción, por tanto nuestra hipótesis de partida es falsa. Es decir la cantidad de números primos no puede ser finita.

4.2 Vinogradov. Sean p1,p2,...,pr todos los números primos. Entonces para N>2

por lo tanto y como la serie armónica es divergente, para N suficientemente grande esta desigualdad es imposible.

4.3 Vinogradov. Sean p1,p2,...,pr todos los números primos. Entonces tenemos la igualdadPero como el número es irracional, esta igualdad es imposible.

4.4 Ahlfors. Si pr fuera el mayor primo entonces,

y se seguiría que ζ(σ) tendría un límite finito cuando σ→1 (siendo σ la parte real de s). Esto contradice el hecho de la divergencia de la serie armónica.

4.5 Crandall, Pomerance. Consideramos ζ(s) para s real, s>1. Es obvio que ζ(s) diverge cuando s→1 debido a la divergencia de la serie armónica. De hecho, para s>1,
Pero si sólo hubiera un número finito de primos, el producto en (1) tendería a un límite finito cuando s→1, en contradicción con la divergencia de la serie armónica.

5. Thue, [2]. Esta prueba hace uso del teorema fundamental de la factorización única de los números naturales en producto de primos. Sean n,k ≥ 1 enteros tales que (1+n)^k<2^n.>Sean p1=2, p2=3, … , pr todos los primos que satisfacen pi ≤ 2^n . Supongamos que r ≤ k. Por el teorema fundamental, todo entero m, 1 ≤ m ≤ 2^n se puede escribir de manera única en la forma:

Contando ahora todas las posibilidades tenemos que lo cual es absurdo. Por lo tanto, debe ser r ≥ k+1. Elegimos n=2(k^2). De la desigualdad
obtenemos que Por lo tanto existen al menos k+1 primos p tales queComo k se puede tomar arbitrariamente grande esto demuestra que existen infinitos números primos.

6. Perott, 1881, [2]. Supongamos que existan solamente r números primos p1 <>. Sea N cualquier entero mayor que el producto de todos ellos. El número de enteros m ≤ N que no son divisibles por un cuadrado será entonces 2^r que es el número de posibles conjuntos de primos distintos. El número de enteros m ≤ N que son divisibles por pi^2 es a lo sumo por lo tanto el número de enteros m ≤ N divisibles por algún cuadrado será como mucho
Por lo tanto,

con δ > 0. La desigualdad estricta se debe al hecho de que la serie de los inversos de los cuadrados de los números naturales es convergente y su suma es menor que 2 (de hecho Euler demostró que su suma es (π^2)/6).
Eligiendo ahora un N tal que Nδ ≥ 2^r obtenemos una contradicción.

7. Auric, 1915, [2]. Supongamos que existan solamente r números primos p1 <> Sea t ≥ 1 un entero cualquiera y sea N=pr^t . Por el teorema de factorización única, cada entero m, 1≤ m ≤ N, se escribe de la forma
y la sucesión (f1,f2, … ,fr), fi ≥ 0, está definida de manera única. También tenemos queEntonces para i=1,2,…,r tenemos que fi ≤ tE, siendo E=(log pr)/(log p1). Entonces el número N de enteros m, 1≤ m ≤ N, es a lo sumo el número de sucesiones (f1,f2, … ,fr); Por lo tanto Si t es suficientemente grande esta desigualdad no se cumple, por lo tanto el número de primos debe ser infinito.

8. Métrod, 1917, [2]. Supongamos que existan solamente r primos p1 < n="p1p2..pr" i="1,2,...,r" qi="N/pi." size="2">i divide a Qj para todo i ≠ j. Sea Si q es un primo que divide a S, entonces q ≠ pi ya que pi divide a Qj (para i ≠ j), pero pi no divide a Qi. Por lo tanto existe al menos otro primo.

9. Furstenberg, 1955, [2]. Se trata de una sencilla prueba basada en ideas topológicas. Apareció en American Mathematical Monthly 63 (1955), p.353. Introducimos una topología en el espacio de los números enteros S, usando las progresiones aritméticas (desde -∞ hasta +∞) como una base. No es difícil demostrar que esto nos proporciona un espacio topológico. De hecho, bajo esta topología, S es normal y por tanto metrizable. Cada progresión aritmética es cerrada y abierta, puesto que su complementario es la unión de otras progresiones aritméticas (con la misma diferencia). Entonces, la unión de cualquier número finito de progresiones aritméticas es cerrada. Consideramos ahora el conjunto A=UAp, donde Ap es el conjunto de todos los múltiplos de p, con p extendido al conjunto de todos los primos. Los únicos números que no pertenecen a A son -1 y +1, y puesto que el conjunto {-1,1} no es abierto, A no puede ser cerrado. En consecuencia A no es una unión finita de conjuntos cerrados, lo que prueba que hay infinitos números primos."

10. Goldbach, 1730, [2]. Está basada en la sucesión de números de Fermat. Los números de Fermat

son primos dos a dos, ya que Fm-2=F0F1...Fm-1 (se prueba facilmente por inducción) y por tanto Fn divide a Fm-2, n <> divide a Fn y Fm, entonces divide a Fm-2 y Fm, en consecuencia divide a 2, y como Fn es impar p sólo puede ser 1. Hemos demostrado que los números de Fermat son primos dos a dos. Ahora elegimos un divisor primo pn de cada número de Fermat Fn. Como todos son distintos, esto prueba que existen infinitos primos.

11. Filip Saidak, 2005. Sea n > 1 un entero positivo. Como n y n+1 son enteros consecutivos, deben ser coprimos (sin factores primos comunes) y por tanto el número N2=n(n+1) debe tener al menos dos factores primos diferentes. De manera similar, puesto que los enteros N2 y N2+1 son consecutivos, deben ser coprimos y en consecuencia el número N3=N2(N2+1) tiene al menos tres factores primos diferentes. Puesto que podemos proceder así indefinidamente, el número de primos debe ser infinito.