La función zeta de Riemann

Durante el siglo pasado y los primeros años de éste hemos visto como han ido cayendo algunos de los más famosas conjeturas matemáticas. El teorema de los 4 colores, el¨Último teorema de Fermat, la conjetura de Poincaré, la conjetura de Kepler,... Algunos vencidos por la inteligencia humana, otros con ayuda "exterior". Quizá su mayor atractivo sea que tienen un enunciado sencillo, que todo el mundo puede entender, pero su resolución ha resistido durante años o incluso durante siglos a los embates de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Yo recuerdo el momento en que Andrew Wiles comunicó al mundo que había demostrado el Último Teorema de Fermat. Era el 23 de junio de 1993. Fue una sensación de tristeza y admiración a partes iguales. Quizá más tristeza que admiración. Sin embargo, el Último Teorema se resistía. A finales de año Wiles reconocía que había una laguna en su demostración. Tardaría casi dos años, con la ayuda de Richard Taylor, en completarla. Pero esa historia la contaré en otro momento.

Afortunadamente, aún quedan sin resolver problemas que nada tienen que envidiar a los anteriores. Uno de ellos es la denominada "Hipótesis de Riemann". Quizá uno de los problemas más interesantes y más difíciles de la matemática actual. Su atractivo radica en que está íntimamente relacionada con la distribución de los números primos. Hay cientos de resultados relacionados con los números primos y la teoría de números que comienzan con la frase: "si la hipótesis de Riemann es cierta, ..."

La función zeta de Riemann se define como una función compleja de variable compleja s = σ + it para Re(s)>1 como

Puesto que esta converge uniformemente para todo valor real

se deduce que ζ(s) es analítica en el semiplano Re(s)>1.
Existe una relación entre ζ(s) y la sucesión de los números primos p1,p2,…, demostrada por primera vez por Euler, Este producto converge uniformemente para si lo hace la serie Como esta última se obtiene omitiendo términos de la serie

se sigue su convergencia uniforme.

Para demostrar la igualdad de Euler observamos que para σ>1 tenemos

donde m recorre los impares. De la misma manera, donde ahora m recorre los enteros positivos no divisibles por 2 ni por 3. En general obtenemos,
donde m recorre los enteros positivos que no contienen ninguno de los factores primos p1,p2, hasta pN. Cuando N→∞ el primer término de la suma es 1 y la suma del resto de los términos tiende a cero, luego Hasta ahora tenemos definida la función ζ(s) solamente en el semiplano Re(s)>1. Riemannn extendió esta función a todo el plano complejo obteniendo una función meromorfa (analítica en todo el plano complejo excepto en el punto s=1 donde tiene un polo), que en el semiplano Re(s) coincide con ζ(s). Demostraremos que para σ>1 En efecto, la integral es convergente y por el teorema de Cauchy su valor no depende de la forma de C mientras que no incluya ninguno de los múltiplos de 2πi. En particular, si hacemos tender r a cero la integral sobre el circulo tiende también a cero y por tanto en el límite nos queda una integral de linea sobre el eje real positivo. En la parte superior de C tenemos que
y sobre la parte inferior obtenemos
En consecuenciaPara calcular esta última integral partimos de la función Gamma, Reemplazando x por nx en la integral obtenemos y tomando ahora sumatorios respecto de n, Volviendo ahora a la integral compleja sobre el camino de integración C, Teniendo en cuenta que obtenemos, en definitiva de donde se sigue el resultado.La importancia de esta fórmula radica en el hecho de que hemos obtenido una función meromorfa definida en todo el plano complejo. De hecho, la integral en (I) es una función entera de s, mientras que Г(1-s) es meromorfa con polos en s=1,2,… Como ζ(s) es analítica para σ>1, los polos en los enteros n≥2 deben cancelarse con los ceros de la integral. En el punto s=1, -Г(1-s) tiene un polo simple con residuo 1. Por otro lado Por lo tanto ζ(s) tiene residuo 1. En resumen:
La función ζ puede extenderse a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo simple en s=1 con residuo 1.
Los denominados “ceros triviales” son los enteros pares negativos -2,-4,-6, … Ningún otro cero es real. Se obtienen al expesar la función zeta en términos de los números de Bernoulli. Para ello partimos de la función

que es analítica en un entorno de x=0 y por tanto puede expresarse como una serie de potencias:
que es válida en el disco Los coeficientes de esta serie de potencias son, por definición, los denominados números de Bernoulli. Éstos pueden calcularse mediante la fórmula recursiva:
Así obtenemos los primeros números de Bernoulli Los de índice impar son todos ceros excepto el primero.
Si en la fórmula obtenida para la función zeta ponemos s=-n (n=0,1,2,…), obtenemos
y de aquí obtenemos los famosos ceros triviales de la función zeta de Riemann,